因式分解求根法_因式分解的特殊值法

初中数学 丨因式分解常用的12种方法!

把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样,现总结如下:

一,提公因式法

如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式。

例1、 分解因式x2 -2x -x

x²-2x -x=x(x -2x-1)

二,应用公式法

由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式。如,和的平方、差的平方

例2、分解因式a² +4ab+4b²

a²+4ab+4b² =(a+2b)²

三,分组分解法

要把多项式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前两项分成一组,并提出公因式a,把它后两项分成一组,并提出公因式b,从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,从而得到(a+b)(m+n)

例3、分解因式m2+5n-mn-5m

m2+5n-mn-5m= m2-5m-mn+5n

= (m -5m )+(-mn+5n)

=m(m-5)-n(m-5)

=(m-5)(m-n)

四,十字相乘法(经常使用)

对于mx2+px+q形式的多项式,如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p,则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)

例4、分解因式7x²-19x-6

分析:1 -3

7 2

2-21=-19

7x²-19x-6=(7x+2)(x-3)

五,配方法

对于那些不能利用公式法的多项式,有的可以利用将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解。

例5、分解因式x²+3x-40

解x²+3x-40=x²+3x+(9/4) -(9/4) -40

=(x+3/2) ²-(169/4 )

=(x+3/2+13/2)(x+3/2-13/2)

=(x+8)(x-5)

六,拆、添项法

可以把多项式拆成若干部分,再用进行因式分解。

例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)

bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)

=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)

=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)

=(c+b)(c-a)(a+b)

七,换元法

有时在分解因式时,可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数,然后进行因式分解,最后再转换回来。

初中数学 丨因式分解常用的12种方法!初中数学 丨因式分解常用的12种方法!八,求根法

令多项式f(x)=0,求出其根为x1,x2,x3,……xn,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn)

例8、分解因式2x4+7x3 -2x2-13x+6

令f(x)=2x4+7x3 -2x2-13x+6=0

通过综合除法可知,f(x)=0根为1/2 ,-3,-2,1

则2x4+7x3 -2x2-13x+6 =(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)

九,图像法

令y=f(x),做出函数y=f(x)的图象,找到函数图象与X轴的交点x1,x2,x3,……xn,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn)

例9、因式分解x³+2x2-5x-6

令y=x³+2x2-5x-6

作出其图象,见右图,与x轴交点为-3,-1,2

则x³+2x2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)

十,主元法

先选定一个字母为主元,然后把各项按这个字母次数从高到低排列,再进行因式分解。

例10、分解因式a²(b-c)+b²(c-a)+c²(a-b)

分析:此题可选定a为主元,将其按次数从高到低排列

a²(b-c)+b²(c-a)+c²(a-b)=a²(b-c)-a(b²-c²)+(b²c-c²b)

=(b-c) [a²-a(b+c)+bc]

=(b-c)(a-b)(a-c)

十一,利用特殊值法

将2或10代入x,求出数P,将数P分解质因数,将质因数适当的组合,并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式,将2或10还原成x,即得因式分解式。

例11、分解因式x³+9x2+23x+15

令x=2,则x³+9x2+23x+15=8+36+46+15=105

将105分解成3个质因数的积,即105=3×5×7

注意到多项式中最高项的系数为1,而3、5、7分别为x+1,x+3,x+5,在x=2时的值

则x³+9x2+23x+15=(x+1)(x+3)(x+5)

十二,待定系数法

首先判断出分解因式的形式,然后设出相应整式的字母系数,求出字母系数,从而把多项式因式分解。

例12、分解因式x²-x³-5x2-6x-4

分析:易知这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式.

设x4-x3-5x2-6x-4=(x2+ax+b)(x2+cx+d)

=x4+(a+c)x3+(ac+b+d)x2+(ad+bc)x+bd

所以 解得

则x4-x3-5x2-6x-4=(x +x+1)(x -2x-4)

初中数学 丨因式分解常用的12种方法!

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